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Sistema sexagesimal: ángulos y horas

Como herencia de los matemáticos y astrónomos babilonios, aún conservamos dos formas sexagesimales de medir: el tiempo y los ángulos. Para los ángulos se han inventado otros sistemas de medida, como los radianes y los grados centesimales, que han tenido más o menos éxito, pero ningún otro sistema de medir el tiempo  ha tenido éxito. Los ángulos, además, también se utilizan en las coordenadas geográficas: latitud y longitud.

Operar a mano con estos sistemas en base 60 puede resultar complicado si no se dominan los algoritmos para la base 10 y se tiene asumido el concepto de base de un sistema de numeración. Tenemos una explicación en el Proyecto Descartes, del MECD. Cambiar de base, a mano, aún puede ser más complicado. Con una calculadora, por el contrario, es mucho más cómodo operar en base 10 y hacer todos los cambios de base necesarios.

La mayoría de las calculadoras científicas pueden hacer cálculos (trigonométricos) con los tres sistemas de medida de ángulos, per eso hay que elegir el sistema sexagesimal, representado por las abreviaturas D o DEG (de degree). En algunas calculadoras Casio suele hacerse activando el modo correspondiente, asociado habitualmente al 4; otras tienen la tecla DRG para ir alternando los tres sistemas. Una vez elegido, muchas muestran D o DEG en algún lugar de la pantalla.

Además, se precisa un modo de separar las tres partes de la cantidad (horas/grados, minutos y segundos). Muchas tienen la tecla o ' '' (o esta función como opción de un submenú del menú inferior OPTN ); en otras se separan las horas/grados de los minutos por el punto decimal, pero no se separan los minutos de los segundos (hay que usar, eso sí, dos cifras para cada una de estas partes), después hay que apretar otra tecla, DMS , para efectuar el cambio de base; por último las hay que no tienen programado este cambio de base (de 60 a 10), en ellas habremos de calcularlo aplicando la fórmula siguiente:
ángulo(10 = grados + minutos/60+segundo/3 600

Introducimos el ángulo 80° 13' 7'' (80,2186111...(10 ), según sea la calculadora:
 
80o ' ''13o ' ''7o ' ''
80.1307DMS
DAL 80+13/60+7
/3600EXE
NM 80+13/60+.7
/3600=
RPN 80Enter13Enter60/+
7Enter3600/+
o bien
7Enter3600/
13Enter60/80++

Para deshacer el cambio, es decir, para pasar de una expresión decimal (base 10) a grados/horas, minutos y segundos (base 60), las calculadores que tienen función o ' ''DMS incorporan a su lado la correspondiente función inversa, flecha izquierda . Habremos de interpretar y escribir bien lo que muestre la pantalla, ya que muchas no muestran los símbolos °, ' y ''. Con las otras también habremos de indicar nosotros el cálculo, ahora un poco más complicado:

  • la parte entera es el número de grados/horas
  • restamos la parte entera y multiplicamos por 60
  • ahora la parte entera es el número de minutos
  • restamos la parte entera y multiplicamos per 60
  • obtenemos los segundos, que podemos redondear a un entero.
Deshacemos el cambio anterior, suponiendo que aún tenemos en la pantalla 80,2186111..., según sea la calculadora:
 
  flecha izquierda (habitualmente SHIFT o ' '' )
80°13°07°
  flecha izquierda (habitualmente SHIFT DMS )
80.1307
DAL - 8 0 EXE x 6 0 EXE
- 1 3 EXE x 6 0 EXE
13.1166...

7

NM - 8 0 = x 6 0 =
- 1 3 = x 6 0 =
RPN 8 0 - 6 0 x
1 3 - 6 0 x

En cualquier caso apuntaremos 80° 13' 7'' o 80 h 13 min 7 s.
 

Un vez sabemos introducir estas cantidades en base 60, operar con ellas no tiene ningún otro misterio: lo hacemos de la manera habitual i después pasamos el resultado a base 60. Hagámoslo con:

Solución 2 h 48 min 35 s +  2 h 45 min 30 s
3 h - 2 h 48 min 35 s
18º 26' 35" · 3
56º 20' 40" : 5 
 

Algunas calculadoras de 8 cifras no tienen sitio para mostrar los segundos de los ángulos mayores que 100°. Se pueden hacer aparecer restando los grados antes de pasar a base 60. Probemos ahora con:

Solución 125º 15' 30" + 24º 50' 40"
125º 15' 30" - 24º 50' 40"
37º 42' 15" · 4
243º 9' 40" : 2
 

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En cada uno de estos ejemplos sólo indicamos una de las formas de cambiar de base.
2 h 48 min 35 s +
2 h 45 min 30 s
DAL 2o ' ''48o ' ''35o ' ''+
2o ' ''45o ' ''30o ' ''EXEflecha izquierda
5.5680...

5°34°05°


 

5h 34 min 5 s

NM 2o ' ''48o ' ''.35o ' ''.+
2o ' ''45o ' ''.30o ' ''.=flecha izquierda
RPN 2o ' ''48o ' ''35o ' ''Enter
2o ' ''45o ' ''30o ' ''+flecha izquierda
3 h - 2 h 48 min 35 s DAL 3-2.4835DMSEXEflecha izquierda
0.1902...

0.1125


11 min 25 s

NM 3-2.4835DMS.=flecha izquierda
RPN 3Enter2.4835DMS-flecha izquierda
18º 26' 35" · 3  DAL 18o ' ''26o ' ''35o ' ''
x3EXEflecha izquierda
55.3291...

55°19°45°


 

55° 19' 45"

NM 18o ' ''26o ' ''.35o ' '' .
x3=flecha izquierda
RPN 18o ' ''26o ' ''35o ' ''
Enter3xflecha izquierda
56º 20' 40" : 5 DAL 56.2040DMS/
5EXEflecha izquierda
11.2688...

11.1608


 

11° 16' 8"

NM 56.2040DMS./
5=flecha izquierda
RPN 56.2040DMS5/flecha izquierda

 
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En cada uno de estos ejemplos sólo indicamos una de las formas de cambiar de base.
125º 15' 30" + 24º 50' 40" DAL 125o ' ''15o ' ''30
o ' ''+24o ' ''50o ' ''4
0o ' ''EXEflecha izquierda
150.1027...

150°06°10°


 

150° 6' 10"

NM 125o ' ''15o ' ''.30
o ' ''.+24o ' ''50o ' ''.4
0o ' ''.=flecha izquierda
RPN 125o ' ''15o ' ''30
o ' ''Enter24o ' ''50o ' ''4
0o ' ''+flecha izquierda
125º 15' 30" - 24º 50' 40" DAL 125.1530DMS
-24.5040DMS
EXEflecha izquierda
100.4138...

100.2450


 

100° 24' 50"

NM 125.1530DMS .
-24.5040DMS .
=flecha izquierda
RPN 125.1530DMS
24.5040DMS-flecha izquierda
37º 42' 15" · 4 DAL 37o ' ''42o ' ''15o ' ''
x4EXEflecha izquierda
150.8166...

150°49°00°


 

150° 49'

NM 37o ' ''42o ' ''.15o ' '' .
x4=flecha izquierda
RPN 37o ' ''42o ' ''15o ' ''
Enter4xflecha izquierda

243º 9' 40" : 2
DAL 243.0940DMS
/2EXEflecha izquierda
121.5805...

121.3450


 

121° 34' 50"

NM 243.0940DMS .
/2=flecha izquierda
RPN 243.0940DMS
2/flecha izquierda
 

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