Medidas de Riesgo en Renta Variable

Planteamiento

Supongamos que somos un inversor con cierta cantidad de dinero que desea invertir en Bolsa; nos plantearemos las siguientes preguntas:

¿Qué rendimiento espero obtener? ¿Qué riesgo estoy dispuesto y debo a asumir?
¿Cómo seleccionar mi cartera de inversión?
¿Cómo puedo reducir el riesgo de mi cartera de inversión?
¿Cuánto podría perder o ganar si tengo una cartera de inversión determinada?

Este módulo responde paso a paso a todas estas preguntas desarrollando las técnicas necesarias.

¿Qué rendimiento espero obtener? ¿Qué riesgo estoy dispuesto y debo asumir?

Valoración del mercado de acciones

El mercado de acciones es valorado en base a sus dos características fundamentales: la rentabilidad y el riesgo.

El rendimiento

El cálculo de la rentabilidad se hace restando del valor al final del período (Pt)(1), su valor inicial (P0) y, por último, dividiendo dicha diferencia por el propio valor inicial:

(1) Donde incluiremos la cotización de la acción en ese momento, más aquellas cantidades recibidas por su posesión (derechos de suscripción y dividendos).

El riesgo

Esta rentabilidad calculada a priori, es un valor estimativo realizado por el inversor, lo que implica la existencia de un riesgo, al poder ser Pt distinto del previsto, que hará que el valor final de la operación no coincida exactamente con el previsto. El riesgo de un título particular viene dado por la varianza de la serie de sus retornos.

Relación rendimiento - riesgo

Normalmente siguen una relación directa: a mayor rendimiento esperado mayor riesgo y viceversa.

Tipos de inversores

Dependiendo de la situación personal de cada inversor existirá un binomio "óptimo" entre riesgo esperado y riesgo asumido. Grosomodo podemos distinguir los siguientes estereotipos:

 

El soltero

Estrategia recomendada

Rentabilidad

La pareja joven

Equilibrio riesgo - rentabilidad

El matrimonio conservador

Cesta variada

Los jubilados

Ante todo, seguridad

Tema X. La estadística y la Bolsa

¿Cómo seleccionar mi cartera de inversión?

Teoría de selección de carteras de Markowitz

El problema que se nos plantea ahora es el de elegir la cartera de valores de inversión. El inversor se planteará dos posturas:

Elección a priori del inversor

¿Qué debe intentar el inversor?

Rendimiento esperado

Minimizar el riesgo para esa rentabilidad esperada

   

Riesgo que quiere asumir

Maximizar la rentabilidad esperada para ese riesgo

El riesgo de una cartera se medirá a través de la varianza del rendimiento de la misma (ex-ante) de la siguiente forma (Xi es la ponderación de cada título).

donde es la covarianza(2) del título i con el título j.

(2) Recuérdese la covarianza es igual al producto de las desviaciones típicas multiplicado por el coeficiente de correlación entre ambos títulos.

Una vez que tenemos los valores de rendimiento y del riesgo de los diversos títulos que pueden componer la cartera deberemos buscar la combinación idónea de los mismos. Se trata de buscar cuáles son las carteras que proporcionan el mayor rendimiento para un riesgo determinado y al mismo tiempo que soportan el mínimo riesgo para un rendimiento conocido. A estas carteras se las denomina eficientes. El conjunto de carteras eficientes se puede determinar mediante la teoría de programación lineal:

 

Programa 1

Programa 2

Función objetivo

Restricciones paramétricas

Restricciones presupuestarias

No negatividad

Esto quiere decir:

Programa 1: busca el máximo rendimiento esperado para un riesgo fijo.

Programa 2: busca el mínimo riesgo para un rendimiento esperado concreto.

Ambos con las siguientes restricciones:

La cantidad total a invertir es 1 (100% del dinero que tenemos).
Ninguna inversión puede ser negativa.

El resultado de ambos programas será el conjunto de carteras eficientes, que recibe el nombre de frontera eficiente por estar formada por la totalidad de carteras eficientes.

El problema de esta técnica radica en que suponiendo un universo de N valores, para aplicar el algoritmo de Markowitz debemos tener los siguientes inputs:

N rentabilidades esperadas.
N varianzas de dichas rentabilidades.
(N2 - N)/2 covarianzas.

De este modo requiere un total de N(N + 3)/2 inputs de información.

Número de Valores

Inputs necesarios

10

65

50

1.325

100

5.150

1.000

501.500

 

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos cinco empresas con los consiguientes rendimientos esperados y riesgos asociados (supondremos que sus rendimientos son independientes entre sí, no hay correlación entre ellos):

Introduciendo estos datos en un programa de programación lineal obtendremos los valores representativos de la frontera eficiente, cinco de los cuales figuran a continuación.

Supongamos ahora que un inversor determinado desea saber cuál será la composición de su cartera óptima en dos escenarios distintos: a) con un rendimiento esperado del 12%, y b) con un rendimiento esperado del 15%. Los resultados se muestran a continuación:

 

 

Tema X. La estadística y la Bolsa

El modelo de mercado. Riesgos sistemáticos y específicos.

Dada la dificultad de llevar a la práctica la teoría anteriormente descrita aparece una teoría llamada "el modelo de mercado". Este relaciona mediante un modelo de regresión lineal el rendimiento del mercado (variable independiente) y el rendimiento del título o cartera (variable dependiente). En otras palabras el rendimiento de un título viene dado por un factor dependiente de lo que se mueva el mercado, otro factor que depende exclusivamente del título concreto y de un factor aleatorio.

donde

RS = rendimiento del activo considerado
RM = rendimiento del índice bursátil en que opere el activo anterior (retorno del mercado)
bS = medida del cambio esperado en RS dado un cambio en RM
aS = rendimiento esperado del título cuando el rendimiento del mercado es nulo
eS = elemento aleatorio que sigue una distribución normal

y

A la recta de regresión se la conoce como línea característica del título. Alfa indica el rendimiento del título cuando el rendimiento del mercado es nulo (esto es, cuando el mercado no se mueve ni al alza ni a la baja), mientras que Beta indica la volatilidad del rendimiento del título con respecto a una variación del rendimiento del mercado. eS es el error que indica la perturbación aleatoria equilibradora del modelo estadístico.

Cada vez que hablemos de rendimiento esperado debemos referirnos al riesgo que lleva implícita dicha esperanza. La expresión del riesgo es la siguiente:

Al primer sumando a la derecha del signo "=" se le denomina riesgo sistemático, porque indica el riesgo del título o de la cartera que depende única y exclusivamente del mercado. Generalmente se asume que Beta es constante(3) y sólo es variable la varianza de mercado. Así que cuanto más grande sea Beta, mayor será el riesgo sistemático, es decir, más variará el rendimiento del título cuando varíe el rendimiento del mercado. De ahí los activos agresivos, que tienen una Beta mayor a la del mercado (uno), mientras que los defensivos tienen una Beta más pequeña que la del mercado.

(3) Esto no es totalmente cierto pues depende en gran medida según el período de estimación. La inestabilidad de la Beta puede deberse a una pauta cíclica.

El otro sumando representa el riesgo específico, es decir, la parte del riesgo total del título que depende sólo de la propia empresa y no del mercado. Este riesgo es importante porque tiene la propiedad de ser diversificable y, prácticamente anulable. Las carteras eficientes tienen un riesgo específico igual a cero.

Teniendo en cuenta que el riesgo específico es posible eliminarlo con una buena diversificación realizada por el inversor, pero no así el sistemático, el rendimiento esperado de un título o de una cartera depende principalmente del riesgo sistemático. Esto es, el mercado sólo paga el riesgo sistemático de su inversión; por lo tanto, si no eliminamos el riesgo específico estamos corriendo un riesgo no remunerado, o lo que es lo mismo, totalmente gratuito.

De este modo, podemos expresar el rendimiento esperado de un título como:

siendo

Rf: rendimiento libre de riesgo, por ejemplo el que de las Letras del Tesoro.
Rm: rendimiento medio del mercado.

En el caso de carteras internacionales podemos calcular Beta de un título nacional como:

donde

sMN : desviación típica del mercado nacional
si : desviación típica del título
sMN : correlación entre los dos mercados considerados.

 

Ejemplo 2

Un inversor español que aplica este modelo para decidir si adquiere o no acciones de una empresa italiana espera que el rendimiento medio de las mismas sea del 12% (después de incluir en el cálculo el tipo de cambio peseta - lira), con una desviación típica del 9,5%. Por otro lado, el tipo de interés libre de riesgo en España es del 5,25% y el rendimiento medio del mercado es del 9% con una desviación típica del 6%. La correlación entre los mercados de valores italiano y español es del 2%. ¿Le interesará adquirir esas acciones?

Deberemos calcular qué rendimiento proporcionaría en España un título de esas características:

Ei = 0,0525+(0,09-0,0525)*((0,02*0,06*0,095)/0,062) = 0,05369

Así que pudiendo obtener un 12% en el mercado italiano por un título con unas características por las que se obtendría sólo un 5,37% en el español, parece lógico optar por la compra.

 

Tema X. La estadística y la Bolsa

¿Cómo puedo reducir el riesgo de mi cartera de inversión?

El proceso de diversificación de carteras

Para eliminar el riesgo específico (riesgo no remunerado) de una cartera utilizamos el proceso de diversificación de carteras. Se basa en el principio de que el riesgo total de una cartera puede ser menor que el de cada uno de sus títulos por separado. Supongamos tres situaciones diferentes: (a) inversor que posee acciones de BBV - se beneficia de la subida de tipos de interés - ; (b) inversor que posee acciones de Iberdrola - se beneficia de la bajada de tipos de interés - ; (c) inversor que posee ambas acciones.

 

Acciones BBV

Acciones Iberdrola

Cartera de ambas

Impacto de los tipos de interés

Alto

Alto

Bajo

Riesgo asumido

Alto

Alto

Menor

Cómo es lógico, debemos reducir el riesgo asumido para una rentabilidad esperada. El proceso de diversificación de carteras reduce significativamente dicho riesgo. El nivel de diversificación de las carteras depende del mercado en el que nos movamos y de que en la diversificación haya una mayor concentración de acciones de un sector concreto.

El proceso de diversificación con respecto al número de diferentes acciones en una cartera de inversión es como sigue:

La varianza de una cartera de N títulos es

donde

wpe8.jpg (873 bytes) = varianza de los retornos de la cartera

XJ = Proporción del título J

wpe7.jpg (868 bytes) = varianza de los retornos del título J

wpe6.jpg (931 bytes) = covarianza de los retornos de los títulos J y K

Para una cartera con igual peso de cada una de los N tipos de acciones (esto es, ) la fórmula de la varianza de la cartera es:

donde

N = número de elementos en la cartera

varianza media de los retornos para los títulos individuales

covarianza media de los retornos (» varianza del índice diversificado)

Para ilustrar mejor el proceso de diversificación, agrupamos los términos de la siguiente manera:

El primer término de la ecuación (1/N veces la diferencia entre la varianza individual de las acciones y la media de las covarianzas) corresponde al riesgo residual o específico de la cartera. El segundo término (media de covarianzas), representa la componente de riesgo de mercado o sistemático. Podemos ver cómo, cuando el número de empresas crece, la componente de riesgo específico tiende a cero, y nos queda sólo el riesgo de mercado no diversificable. De esta manera, la varianza de un extenso índice de mercado, debe aproximar la media de las covarianzas de los retornos de las acciones . Sustituyendo la media de las covarianzas por la varianza del índice,

 

Aplicaciones

Según lo anteriormente expuesto los elementos claves para el riesgo de una cartera son: (a) varianza media, (b) covarianza media y (c) número de elementos en la cartera. Utilizando estos elementos podemos comparar el efecto de diversificación en diferentes mercados de acciones. En general, la diversificación permite una reducción significativa del riesgo si la covarianza media del conjunto es pequeña comparada con la varianza media.

Podemos calcular un Factor de Escala de Diversificación (proporción del riesgo total esperado del riesgo sistemático) para calcular el incremento de riesgo dado el número de elementos dentro de la cartera.

Son muchas las aplicaciones de esta técnica. Por ejemplo, el factor de escala de diversificación puede ser utilizado como "cálculo rápido - aproximado" de cuánto riesgo residual esperado existe en una cartera, dado el número diferente de acciones que tenemos. La ventaja del método radica en su simplicidad.

Nótese que a mayor factor de escala de diversificación, menor es la diversificación.

Tema X. La estadística y la Bolsa

¿Cuánto podría perder o ganar con la cartera de inversión seleccionada?

Concepto Value at Risk (VaR)

El concepto de VaR (valor en riesgo) nos permite obtener cuánto dinero podemos llegar a perder en cierto período de tiempo si consideramos una cartera de inversión concreta. Se basa en conceptos estadísticos y hechos empíricos observados frecuentemente en la Bolsa.

Es la pérdida potencial (o ganancia potencial) que podríamos tener con un nivel de confianza (generalmente del 95%) dado en un período concreto. Se da normalmente como pérdida porque es lo que nos interesa en riesgos.

Es importante darse cuenta que esa misma cantidad es la que podríamos llegar a ganar. Por lo tanto, si estamos calculando bien el VaR y aceptando esa cantidad estamos limitando tanto pérdidas como ganancias.

El siguiente gráfico muestra de un manera intuitiva lo que es el VaR.

 

¿ Cómo medir ese VaR ?

El VaR se mide generalmente(4) en base a variables estadísticas: tiene en cuenta las distribuciones condicionadas de los precios y los parámetros necesarios que las definen.

Existe otra metodología por simulación; esto es simular lo que podría ocurrir en el mercado según la historia que tenemos. Esta simulación se puede hacer por Montecarlo o por histórico.

Se suele asumir la distribución normal de los retornos diarios. Sin embargo, como consecuencia del teorema central del límite, cualquier otra distribución de la rentabilidad diaria de la acción produce los mismos resultados. Utilizaremos la hipótesis de normalidad para facilitar la exposición.

El riesgo de mercado de una acción, VaRS , se define como el valor de mercado de la inversión en esa acción VMS ,multiplicado por el de la volatilidad estimada de los retornos diarios de la acción, 1,65 sS (para un nivel de confianza del 95%):

Suponemos ahora que tenemos N activos con precios diferenciados y que disponemos de datos para un periodo suficiente de días. A partir de este punto adoptaremos las siguientes denominaciones:

VMdi= Valor de mercado del activo i el día d valorado a Pdi

sdij= Covarianza de los retornos sobre precios de los activos i,j correspondiente al día d.

sdi= Desviación típica (también llamada volatilidad) de los retornos del activo i para el día d = (sdii)0.5

rdi= Coeficiente de correlación entre los retornos de los activos i y j correspondiente al día d.

 

k = Valor para el cual la función de distribución de una distribución estándar normal es igual al valor del nivel de confianza requerido (para un nivel de confianza de 95%, k=1.65).

Tema X. La estadística y la Bolsa

Utilización del Factor de Escala de Diversificación en el cálculo del VaR

Podemos utilizar este factor para ajustar el VaR de nuestra cartera

VaR ajustado = Factor de escala de diversificación * VaR

 

Ejemplo 3

Consideremos una cartera de renta variable consistente en cuatro tipos de acciones, con un valor de mercado de 25.000 ptas. cada una, el índice IBEX 35 tiene una desviación estándar de 3,46%, y una media de las desviaciones estándar de las acciones pertenecientes al IBEX 35 del 8,9%.

Volatilidad media de las acciones (1,65s media)

14,69%

Volatilidad del índice diversificado (1,65s del índice)

5,71%

Número de acciones diferentes

4

 

Activo

Valor de mercado (ptas.)

Beta

Riesgo sistemático (ptas.)

Acción A

25.000

0.5

714

Acción B

25.000

1.5

2.141

Acción C

25.000

1

1.427

Acción D

25.000

0.8

1.142

Riesgo sistemático individual = Volatilidad del índice * Beta * Valor de Mercado

VaR total sistemático

5.424 ptas.

Factor de escala de diversificación

240%

VaR ajustado

VaR ajustado = Factor de escala de diversificación * VaR total sistemático

13.039 ptas.

Obsérvese que en este procedimiento se asume que las empresas son seleccionadas al azar y las carteras están igualmente distribuidas. Esta técnica deja de ser tan útil para carteras asimétricas o si hay concentraciones significativas en ciertos sectores. Para carteras con concentraciones importantes en ciertos sectores podemos utilizar un subíndice sectorial que refleje más fielmente la composición de la cartera.

VaR para Renta Variable en carteras asimétricamente distribuidas

Para un cálculo más preciso de la volatilidad de la cartera, debemos considerar el peso exacto de las acciones. Se muestra a continuación cómo calcular el VaR para una cartera simple de mercado, asumiendo una varianza media para las acciones.

donde

El riesgo de mercado para acciones individuales es agregado linealmente (correlación = 1), mientras que el riesgo residual es agregado asumiendo la independencia (raíces cuadradas de la suma de los cuadrados).